Вариант А2 1. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 и 16 см. Высота пирамиды проходит через одну из вершин основания и равна 12 см. а) Докажите, что боковые грани пирамиды - прямоугольные треугольники. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть дана пирамида $$SABCD$$, основанием которой является прямоугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB = 9$$ см и $$AD = 16$$ см. Высота пирамиды проходит через вершину $$A$$, то есть $$SA$$ перпендикулярна плоскости основания. Боковые грани пирамиды: $$\triangle SAB$$, $$\triangle SBC$$, $$\triangle SCD$$, $$\triangle SDA$$. Так как $$SA$$ - высота пирамиды, то $$SA \perp AB$$ и $$SA \perp AD$$. Следовательно, $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SAD$$ - прямоугольные треугольники. Рассмотрим грани $$\triangle SBC$$ и $$\triangle SCD$$. Так как $$ABCD$$ - прямоугольник, то $$AB \perp BC$$ и $$AD \perp DC$$. Следовательно, $$SBC$$ и $$SCD$$ - прямоугольные треугольники. Все боковые грани пирамиды - прямоугольные треугольники. б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых граней: $$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD}$$ $$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54$$ см$$^2$$ $$S_{\triangle SAD} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$$ см$$^2$$ Найдем $$SB$$ и $$SD$$ по теореме Пифагора из $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SAD$$: $$SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$ см. $$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$ см. Найдем $$SC$$ по теореме Пифагора из $$\triangle SBC$$: $$SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 16^2} = \sqrt{225 + 256} = \sqrt{481}$$ см. $$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16 = 120$$ см$$^2$$ Найдем $$SC$$ по теореме Пифагора из $$\triangle SCD$$: $$SC = \sqrt{SD^2 + DC^2} = \sqrt{20^2 + 9^2} = \sqrt{400 + 81} = \sqrt{481}$$ см. $$S_{\triangle SCD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 9 = 90$$ см$$^2$$ $$S_{бок} = 54 + 96 + 120 + 90 = 360$$ см$$^2$$ Ответ: $$S_{бок} = 360$$ см$$^2$$