Вариант А1. 2. В параллелограмме ABCD точки M и N — середины сторон BC и CD, \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{BN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\); \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{DM}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите, что векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{MN}\) — коллинеарны. \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{NM}\) — коллинеарны.

Положим начало координат в точку \(A\). Тогда положение вершин задаётся векторами: \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AD}=\vec b\), \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b\).

а) Так как \(M\) — середина \(BC\), а \(N\) — середина \(CD\), по формуле середины получаем:

\(\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}2=\frac{\vec a+(\vec a+\vec b)}2=\vec a+\frac12\vec b.\)

\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\left(\frac12\vec a+\vec b\right)-\vec a=-\frac12\vec a+\vec b.\)

\(\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}2=\frac{(\vec a+\vec b)+\vec b}2=\frac12\vec a+\vec b.\)

\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\left(\vec a+\frac12\vec b\right)-\vec b=\vec a-\frac12\vec b.\)

б) Вычислим векторы через их радиус-векторы:

\(\overrightarrow{BD}=\vec b-\vec a.\)

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac12\vec a+\vec b\right)-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)=\frac12(\vec b-\vec a)=\frac12\overrightarrow{BD}.\)

Следовательно, \(\overrightarrow{MN}\) является числовым множителем \(\overrightarrow{BD}\), поэтому эти векторы коллинеарны.

Аналогично, \(\overrightarrow{DB}=\vec a-\vec b\), а \(\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{MN}=\frac12(\vec a-\vec b)=\frac12\overrightarrow{DB}\). Значит, \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{NM}\) также коллинеарны.