Вариант А1. 3. Докажите, что если диагонали ромба равны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — ромб, а его диагонали AC и BD равны. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся пополам. Обозначим их точку пересечения через O.

1. Поскольку диагонали равны и делятся пополам, AO = BO.

2. Треугольник AOB прямоугольный, так как диагонали ромба перпендикулярны. При этом его катеты AO и BO равны, следовательно, треугольник AOB равнобедренный прямоугольный, а ∠AOB = 90°.

3. Равенство диагоналей ромба также даёт равенство его углов: треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Значит, соседние углы ромба равны, а соседние углы параллелограмма в сумме составляют 180°. Поэтому каждый угол равен 90°.

Ромб с прямыми углами является прямоугольником; прямоугольник, у которого все стороны равны, — квадрат.