Вариант А1, Задание 2

Решение:

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Это означает, что \( AO = OB \) и \( CO = OD \).

а) Рассмотрим треугольники \( \triangle AOC \) и \( \triangle BOD \).

1. \( AO = OB \) (по условию).

2. \( CO = OD \) (по условию).

3. \( \angle AOC = \angle BOD \) (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников), \( \triangle AOC = \triangle BOD \).

б) Дано: \( \angle ODB = 20^{\circ} \), \( \angle AOC = 115^{\circ} \).

Из равенства треугольников \( \triangle AOC = \triangle BOD \) следует, что \( \angle OAC = \angle OBD \) и \( \angle OCA = \angle ODB \).

Так как \( \angle ODB = 20^{\circ} \), то \( \angle OCA = 20^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOC \).

Сумма углов в \( \triangle AOC \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \]

Подставим известные значения:

\[ \angle OAC + 20^{\circ} + 115^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle OAC + 135^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle OAC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \]

Значит, \( \angle OAC = 45^{\circ} \).

Поскольку \( \triangle AOC = \triangle BOD \), то \( \angle OBD = \angle OAC = 45^{\circ} \).

Ответ: а) \( \triangle AOC = \triangle BOD \) по двум сторонам и углу между ними. б) \( \angle OAC = 45^{\circ} \).