Вариант А2, Задание 2

Решение:

Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Это означает, что \( AO = OB \) и \( CO = OD \).

а) Рассмотрим треугольники \( \triangle AOD \) и \( \triangle BOC \).

1. \( AO = OB \) (по условию).

2. \( DO = CO \) (по условию).

3. \( \angle AOD = \angle BOC \) (как вертикальные углы).

По двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников), \( \triangle AOD = \triangle BOC \).

б) Дано: \( \angle ODA = 40^{\circ} \), \( \angle BOC = 95^{\circ} \).

Из равенства треугольников \( \triangle AOD = \triangle BOC \) следует, что \( \angle OAD = \angle OBC \) и \( \angle ODA = \angle OCB \).

Так как \( \angle ODA = 40^{\circ} \), то \( \angle OCB = 40^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle BOC \).

Сумма углов в \( \triangle BOC \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \]

Подставим известные значения:

\[ \angle OBC + 40^{\circ} + 95^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle OBC + 135^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle OBC = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \]

Значит, \( \angle OBC = 45^{\circ} \).

Поскольку \( \triangle AOD = \triangle BOC \), то \( \angle OAD = \angle OBC = 45^{\circ} \).

Ответ: а) \( \triangle AOD = \triangle BOC \) по двум сторонам и углу между ними. б) \( \angle OBC = 45^{\circ} \).