Вариант А2, 1. Даны M, N, K — середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC соответственно. \(\overrightarrow{CK}=\vec a\), \(\overrightarrow{CN}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{CM}\), \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AN}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(KN\parallel AB\).

Так как K — середина AC, а N — середина BC, то \(\overrightarrow{CA}=2\vec a\) и \(\overrightarrow{CB}=2\vec b\).

а) M — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\vec a+\vec b\).

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=2\vec b-2\vec a=2(\vec b-\vec a)\).

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=-2\vec a+\vec b=\vec b-2\vec a\).

б) \(\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CN}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\). Следовательно, \(\overrightarrow{KN}=\frac12\overrightarrow{AB}\), значит, эти векторы коллинеарны и \(KN\parallel AB\).

Ответ: \(\overrightarrow{CM}=\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{AB}=2(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{AN}=\vec b-2\vec a\); \(KN\parallel AB\).