Вариант Б2, 1. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC. \(\overrightarrow{CN}=\vec a\), \(\overrightarrow{CE}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MD}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(MB\parallel NE\).

Question

Вопрос:

Фото задания: Вариант Б2, 1. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, а точки M и N лежат на стороне AC,…

Вариант Б2, 1. Точки D и E — середины сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, а точки M и N лежат на стороне AC, причём AM = MN = NC. \(\overrightarrow{CN}=\vec a\), \(\overrightarrow{CE}=\vec b\). а) Выразите векторы \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{MB}\), \(\overrightarrow{MD}\) через векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). б) Докажите с помощью векторов, что \(MB\parallel NE\).

Accepted Answer

Поскольку \(AM=MN=NC\), вектор \(\overrightarrow{CA}=3\vec a\), а \(\overrightarrow{CM}=2\vec a\). Так как E — середина BC и \(\overrightarrow{CE}=\vec b\), то \(\overrightarrow{CB}=2\vec b\).

а) D — середина AB, поэтому

\(\overrightarrow{CD}=\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac32\vec a+\vec b\).

\(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=-2\vec a+2\vec b=2(\vec b-\vec a)\).

\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD}=-2\vec a+\frac32\vec a+\vec b=\vec b-\frac12\vec a\).

б) \(\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CE}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a\). Поэтому \(\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{NE}\), следовательно, \(MB\parallel NE\).

Ответ: \(\overrightarrow{CD}=\frac32\vec a+\vec b\), \(\overrightarrow{MB}=2(\vec b-\vec a)\), \(\overrightarrow{MD}=\vec b-\frac12\vec a\); \(MB\parallel NE\).