Вариант А2. 1) Периметр параллелограмма равен 68 см. Найдите стороны параллелограмма, если сумма двух его сторон равна 20 см. 2) Сумма двух углов параллелограмма равна 214°. Найдите углы параллелограмма. 3) Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: AECF — параллелограмм.

Половина периметра равна сумме двух соседних сторон: 68 : 2 = 34 см. Сумма двух противоположных сторон была бы равна 68 см, поэтому данные 20 см относятся к соседним сторонам. Обозначим их a и b: a + b = 34 см. Это не определяет стороны по отдельности: например, подходят пары 10 см и 24 см, 12 см и 22 см.

Ответ: однозначно найти стороны нельзя; известно лишь, что их длины в сумме равны 34 см. Нужны дополнительные данные.

Соседние углы параллелограмма в сумме равны 180°, поэтому 214° — сумма двух противоположных равных углов. Каждый равен 214° : 2 = 107°. Соседние углы равны 180° − 107° = 73°.

Ответ: 107°, 73°, 107°, 73°.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны: AB = CD и AB ∥ CD. На прямой AB точки расположены в порядке A–B–E, а на прямой CD — D–C–F; поэтому BE ∥ DF. По условию BE = DF. Значит, в четырёхугольнике AECF одна пара противоположных сторон EF и AC не используется для вывода, зато стороны AE и CF являются продолжениями равных параллельных отрезков: AE = AB + BE, CF = CD + DF. Следовательно, AE = CF и AE ∥ CF. Четырёхугольник с одной парой противоположных сторон, равных и параллельных, — параллелограмм.

Ответ: AECF — параллелограмм.