Вариант А2. 3. Даны точки A(0; 0), B(1; −1), C(4; 2). Найдите скалярное произведение BC · AC. Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

Найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{BC}=(4-1;\,2-(-1))=(3;3)\), \(\overrightarrow{AC}=(4-0;\,2-0)=(4;2)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=3\cdot4+3\cdot2=18\).

Проверим прямоугольность по координатам сторон: \(\overrightarrow{AB}=(1;-1)\), \(\overrightarrow{BC}=(3;3)\). Их скалярное произведение равно \(1\cdot3+(-1)\cdot3=0\), следовательно, стороны AB и BC перпендикулярны.

Ответ: \(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AC}=18\); треугольник ABC прямоугольный при B.