Вариант А2, задача 3: Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: AECF — параллелограмм.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD стороны AB || DC и AD || BC, а также AB = DC и AD = BC.

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABE \) и \( \triangle CDF \).

• \( \angle BAE = \angle DCF \) (как противоположные углы параллелограмма).

• \( AB = CD \) (как противоположные стороны параллелограмма).

• \( BE = DF \) (по условию).

Следовательно, \( \triangle ABE = \triangle CDF \) по двум сторонам и углу между ними (или по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что \( AE = CF \).

3. Рассмотрим треугольники \( \triangle ADF \) и \( \triangle CBE \).

• \( \angle DAF = \angle BCE \) (как противоположные углы параллелограмма).

• \( AD = BC \) (как противоположные стороны параллелограмма).

• \( DF = BE \) (по условию).

Следовательно, \( \triangle ADF = \triangle CBE \) по двум сторонам и углу между ними (или по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что \( AF = CE \).

4. Мы доказали, что \( AE = CF \) и \( AF = CE \). Это означает, что в четырёхугольнике AECF противоположные стороны попарно равны.

Следовательно, четырёхугольник AECF является параллелограммом по признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм).

Что и требовалось доказать.