3

Вариант А2

1. Дано: Прямоугольный треугольник. Радиус описанной окружности \( R = 2.5 \) см. Отношение катетов \( \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \).
   Найти: Периметр и площадь треугольника.
   
   Решение:
   1. Периметр:
   Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \( R = \frac{c}{2} \).
   Следовательно, гипотенуза \( c = 2R = 2 \cdot 2.5 = 5 \) см.
   Пусть катеты равны \( 3x \) и \( 4x \). По теореме Пифагора: \( (3x)^2 + (4x)^2 = 5^2 \)
   \( 9x^2 + 16x^2 = 25 \)
   \( 25x^2 = 25 \)
   \( x^2 = 1 \)
   \( x = 1 \) (так как длина стороны должна быть положительной).
   Катеты: \( a = 3x = 3 \cdot 1 = 3 \) см, \( b = 4x = 4 \cdot 1 = 4 \) см.
   Периметр: \( P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 \) см.
   
   2. Площадь:
   Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \)
   \( S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6 \) см².

Ответ: Периметр - 12 см, площадь - 6 см².