Вариант B1. 1. Найдите значение выражения: $\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}$, при $a=\frac23$; $b=\frac13$. 2. Сократите дроби: а) $\frac{x^7-x^5}{x^7-x^9}$; б) $\frac{2-2b^2}{4b^2-8b+4}$; в) $\frac{x^3-3x^2+2x-6}{x^3-27}$. 3. Найдите область определения функции: $y=\frac1{x-\frac1x}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Вариант B1. 1. Найдите значение выражения: $\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}$, при $a=\frac23$; $b=\frac13$. 2. Сократите…$ Фото задания

Вариант B1. 1. Найдите значение выражения: $\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}$, при $a=\frac23$; $b=\frac13$. 2. Сократите дроби: а) $\frac{x^7-x^5}{x^7-x^9}$; б) $\frac{2-2b^2}{4b^2-8b+4}$; в) $\frac{x^3-3x^2+2x-6}{x^3-27}$. 3. Найдите область определения функции: $y=\frac1{x-\frac1x}$.

Accepted Answer

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{(a-b)^2}=\frac{a+b}{a-b}$, поскольку при заданных значениях $a\ne b$.

Подставим значения: $\frac{\frac23+\frac13}{\frac23-\frac13}=\frac{1}{\frac13}=3$.

Ответ: 3.

2а. Вынесем общие множители: $\frac{x^5(x^2-1)}{x^7(1-x^2)}=-\frac1{x^2}$. Исходная дробь определена при $x\ne0,\pm1$.

2б. Разложим на множители: $\frac{2(1-b)(1+b)}{4(b-1)^2}=-\frac{b+1}{2(b-1)}$. Ограничение исходной дроби: $b\ne1$.

2в. Группируем слагаемые и раскладываем на множители:

$\frac{x^2(x-3)+2(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{(x-3)(x^2+2)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\frac{x^2+2}{x^2+3x+9}$.

Из исходного знаменателя следует ограничение $x\ne3$.

2а) Ответ: $-\frac1{x^2}$; 2б) Ответ: $-\frac{b+1}{2(b-1)}$; 2в) Ответ: $\frac{x^2+2}{x^2+3x+9}$, при указанных ограничениях исходных дробей.

3. Для определения функции должны быть ненулевыми внутренний знаменатель и знаменатель всей дроби: $x\ne0$, $x-\frac1x\ne0$. Второе условие равносильно $x^2-1\ne0$, то есть $x\ne\pm1$.

Ответ: область определения — все действительные числа, кроме $-1,0,1$.