Вариант Б1. 3. Докажите, что если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — параллелограмм, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и перпендикулярны.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(AO=OC\).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOB и BOC. У них \(AO=OC\), сторона OB общая, а углы AOB и BOC прямые.
3. Следовательно, треугольники AOB и BOC равны по двум катетам.
4. Отсюда \(AB=BC\). В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \(AB=BC=CD=DA\). Следовательно, ABCD — ромб.
5. Условие перпендикулярности диагоналей само по себе даёт ромб, но не обязательно квадрат: например, любой ромб с неравными углами имеет перпендикулярные диагонали.

Вывод: утверждение в приведённой формулировке неверно. Правильное заключение — параллелограмм является ромбом. Чтобы доказать, что это квадрат, нужно дополнительное условие, например равенство диагоналей или наличие прямого угла.