Вариант Б1. 3) Докажите признак равенства треугольников по высоте и двум углам, на которые она делит угол треугольника.

Пусть в треугольниках ABC и A′B′C′ высоты AH и A′H′ проведены из вершин A и A′. Предположим, что AH = A′H′, ∠BAH = ∠B′A′H′ и ∠HAC = ∠H′A′C′.

1. Треугольники ABH и A′B′H′ прямоугольные: ∠AHB = ∠A′H′B′ = 90°. В них равны высоты AH = A′H′ и острые углы при вершинах A и A′. Поэтому ABH = A′B′H′ по стороне и прилежащему острому углу.
2. Треугольники AHC и A′H′C′ также прямоугольные. В них равны AH = A′H′ и углы HAC = H′A′C′, поэтому AHC = A′H′C′ по стороне и прилежащему острому углу.
3. Из равенства этих пар прямоугольных треугольников получаем равенство соответствующих сторон AB = A′B′, AC = A′C′ и углов при вершине A. Следовательно, исходные треугольники ABC и A′B′C′ равны.

Значит, если высоты, проведённые из вершин двух треугольников, равны, а углы, на которые эти высоты делят углы при вершинах, соответственно равны, то треугольники равны.