Вариант Б1, задание 3. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Пусть ABCD — прямоугольник, его диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке O.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: OA = OB.
2. Так как AC ⟂ BD, угол AOB равен 90°.
3. Треугольник AOB — прямоугольный равнобедренный, поэтому ∠OAB = ∠ABO = 45°.
4. Диагональ AC делит прямой угол BAD на два угла, следовательно, ∠A = 45° + 45° = 90°, а угол между диагональю и стороной AB равен 45°.
5. В прямоугольном треугольнике ABC угол A равен 90°, а диагональ образует с его сторонами равные углы. Значит, катеты AB и AD равны.
6. Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.

Что и требовалось доказать.