Вариант Б2, задача 1.

Решение:

Дано:

• \[ \angle B = \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ \angle ADB = 40^{\circ} \]
• \[ \angle BDC = 10^{\circ} \]

Доказать: ╨ ABD = ╨ DCA.

Доказательство:

1. Найдем ╨ ADC: ╨ ADC = ╨ ADB + ╨ BDC = 40° + 10° = 50°.
2. Рассмотрим ╨ ABD: У нас есть ╨ ADB = 40° и ╨ B = 90°. Сумма углов в ╨ ABD равна 180°, поэтому ╨ BAD = 180° - 90° - 40° = 50°.
3. Рассмотрим ╨ DCA: У нас есть ╨ C = 90° и ╨ ADC = 50°. Сумма углов в ╨ DCA равна 180°, поэтому ╨ CAD = 180° - 90° - 50° = 40°.
4. Сравнение треугольников ╨ ABD и ╨ DCA:
• ╨ ADB = 40° (дано), ╨ CAD = 40° (найдено).
• ╨ BAD = 50° (найдено), ╨ ADC = 50° (найдено).
• Сторона AD является общей для обоих треугольников.
5. Вывод: Треугольники ╨ ABD и ╨ DCA равны по первому признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как сторона AD общая, ╨ ADB = ╨ CAD и ╨ BAD = ╨ ADC.

Вывод: ╨ ABD = ╨ DCA.