Вариант I. 1. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство EF = x CD? 2. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.

1а) В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\vec n\), а из условия \(BF:FC=4:3\) следует \(\overrightarrow{BF}=\frac47\vec n\). Так как E — середина AD, \(\overrightarrow{AE}=\frac12\vec n\).

Выразим \(\overrightarrow{EF}\) через путь от E к F через A и B:

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\frac12\vec n+\vec m+\frac47\vec n=\vec m+\frac1{14}\vec n.\)

1б) \(\overrightarrow{CD}=-\vec m\). В выражении для \(\overrightarrow{EF}\) присутствует ненулевой компонент \(\frac1{14}\vec n\), поэтому этот вектор не может быть кратен \(-\vec m\). Векторы сторон параллелограмма \(\vec m\) и \(\vec n\) неколлинеарны.

2. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому их сумма равна \(2\cdot6=12\) см. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой, а другая — гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами высота и разность оснований. Из боковых сторон 15 см и 17 см высота равна 15 см, а разность оснований равна \(\sqrt{17^2-15^2}=8\) см.

Обозначим основания через a и b, где \(a>b\). Тогда \(a+b=12\), \(a-b=8\). Складывая равенства, получаем \(2a=20\), откуда \(a=10\) см; тогда \(b=2\) см.

Ответ: 1а) \(\overrightarrow{EF}=\vec m+\frac1{14}\vec n\); 1б) нет; 2) основания 10 см и 2 см.