Вариант III (для более подготовленных учащихся). 1. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор AC через векторы m = AM и n = AN. 2. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Боковая сторона разделена на три равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами трапеции.

1. Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec u\), \(\overrightarrow{AD}=\vec v\). Поскольку M — середина BC, \(\vec m=\overrightarrow{AM}=\vec u+\frac12\vec v\). Поскольку N — середина CD, \(\vec n=\overrightarrow{AN}=\frac12\vec u+\vec v\).

Складываем: \(\vec m+\vec n=\frac32(\vec u+\vec v)=\frac32\overrightarrow{AC}\). Поэтому \(\overrightarrow{AC}=\frac23(\vec m+\vec n)\).

2. Длины сечений трапеции прямыми, параллельными основаниям, изменяются линейно от одного основания к другому. Разность оснований равна \(10-4=6\) см. На каждой трети боковой стороны длина сечения меняется на \(6:3=2\) см.

От меньшего основания к большему получаем промежуточные отрезки длиной \(4+2=6\) см и \(4+4=8\) см.

Ответ: 1) \(\overrightarrow{AC}=\frac23(\vec m+\vec n)\); 2) 6 см и 8 см.