Вариант II. 1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор KM через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KM = x CB? 2. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большая боковая сторона равна 20 см, а средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

1а) Пусть A — начало отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{AB}=\vec p\), \(\overrightarrow{AD}=\vec q\), а \(\overrightarrow{AC}=\vec p+\vec q\). Точка K — середина AB, поэтому её радиус-вектор равен \(\frac12\vec p\).

Так как \(CM:MD=2:5\), точка M находится на \(\frac27\) пути от C к D. Следовательно, \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac27\overrightarrow{CD}=\vec p+\vec q-\frac27\vec p=\frac57\vec p+\vec q\).

\(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac57-\frac12\right)\vec p+\vec q=\frac3{14}\vec p+\vec q.\)

1б) \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Вектор \(\overrightarrow{KM}\) содержит ненулевую составляющую \(\frac3{14}\vec p\), поэтому он не параллелен \(\overrightarrow{CB}\). Равенство невозможно при любом x.

2. Средняя линия 7 см, значит сумма оснований равна 14 см. В прямоугольной трапеции угол 120° соседствует с прямым углом при другой боковой стороне; острый угол между наклонной боковой стороной и основанием равен 60°. Большая боковая сторона 20 см — наклонная, поэтому высота равна \(20\sin60°=10\sqrt3\) см, а разность оснований — \(20\cos60°=10\) см.

Пусть основания a и b, где \(a>b\). Тогда \(a+b=14\), \(a-b=10\). Отсюда \(a=12\) см и \(b=2\) см.

Ответ: 1а) \(\overrightarrow{KM}=\frac3{14}\vec p+\vec q\); 1б) нет; 2) основания 12 см и 2 см.