Вариант I. 3. Через вершину A квадрата ABCD проведена прямая KA, не лежащая в плоскости квадрата. а) Докажите, что KA и CD — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между KA и CD, если ∠AKB = 85°, ∠ABK = 45°.

а) Прямая KA пересекает плоскость квадрата только в точке A, поскольку не лежит в этой плоскости. Прямая CD лежит в плоскости квадрата, а точка A не принадлежит CD, поэтому KA и CD не пересекаются.

Кроме того, KA не параллельна CD: иначе, поскольку CD ∥ AB, прямая KA была бы параллельна AB. Но обе прямые проходят через A, следовательно, совпали бы, что противоречит условию KA не лежит в плоскости квадрата. Значит, KA и CD не параллельны и не пересекаются, поэтому они скрещиваются.

б) Так как AB ∥ CD, угол между KA и CD равен углу между KA и AB. В треугольнике AKB:

\(\angle KAB=180^\circ-\angle AKB-\angle ABK=180^\circ-85^\circ-45^\circ=50^\circ\).

Ответ: 50°.