Вариант І 1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, если А (-1; 3). 2. Решите треугольник АВС, если угол В = 30°, угол C = 105°, ВС = 3√2 см. 3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если К (1; 7), L (-2; 4), M (2; 0). Найдите косинусы углов К и L.

Вариант I

1. Найдем угол между лучом OA и положительной полуосью OX, если A(-1; 3).

Пусть $$\alpha$$ - угол между лучом OA и положительной полуосью OX.

Тогда $$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{3}{-1} = -3$$.

Так как $$x < 0$$ и $$y > 0$$, то точка A лежит во второй четверти, а значит, угол $$\alpha$$ находится в диапазоне от 90° до 180°.

$$ \alpha = \arctan(-3) + 180^\circ \approx -71.565^\circ + 180^\circ = 108.435^\circ $$.

Ответ: 108.435°

2. Решим треугольник ABC, если $$\angle B = 30^\circ$$, $$\angle C = 105^\circ$$, $$BC = 3\sqrt{2}$$ см.

Найдем угол A:

$$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ$$.

По теореме синусов имеем: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$.

$$\frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{AB}{\sin 105^\circ}$$.

$$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

Тогда:

$$\frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}} = \frac{AB}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}$$.

$$AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 3$$ см.

$$AB = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ см.

Ответ: $$\angle A = 45^\circ$$, $$AC = 3$$ см, $$AB = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ см.

3. Найдем косинус угла M треугольника KLM, если K(1; 7), L(-2; 4), M(2; 0). Найдем косинусы углов K и L.

Найдем векторы:

$$\vec{MK} = (1 - 2; 7 - 0) = (-1; 7)$$.

$$\vec{ML} = (-2 - 2; 4 - 0) = (-4; 4)$$.

Косинус угла M:

$$\cos M = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{ML}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{ML}|} = \frac{(-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 4^2}} = \frac{4 + 28}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{32}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{32}} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$.

Найдем векторы:

$$\vec{KM} = (2 - 1; 0 - 7) = (1; -7)$$.

$$\vec{KL} = (-2 - 1; 4 - 7) = (-3; -3)$$.

Косинус угла K:

$$\cos K = \frac{\vec{KM} \cdot \vec{KL}}{|\vec{KM}| \cdot |\vec{KL}|} = \frac{1 \cdot (-3) + (-7) \cdot (-3)}{\sqrt{1^2 + (-7)^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2}} = \frac{-3 + 21}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{9 + 9}} = \frac{18}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{18}} = \frac{18}{5\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6$$.

Найдем векторы:

$$\vec{LM} = (2 - (-2); 0 - 4) = (4; -4)$$.

$$\vec{LK} = (1 - (-2); 7 - 4) = (3; 3)$$.

Косинус угла L:

$$\cos L = \frac{\vec{LM} \cdot \vec{LK}}{|\vec{LM}| \cdot |\vec{LK}|} = \frac{4 \cdot 3 + (-4) \cdot 3}{\sqrt{4^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 3^2}} = \frac{12 - 12}{\sqrt{16 + 16} \cdot \sqrt{9 + 9}} = \frac{0}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{18}} = 0$$.

Ответ: $$\cos M = 0.8$$, $$\cos K = 0.6$$, $$\cos L = 0$$.