Вариант ІІІ 1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью ОХ, если С (√3; 1). 2. Решите треугольник CDE, если угол C = 60°, CD = 8 дм, СЕ = 5 дм. 3. Найдите косинус угла между векторами а и й=а-б, если |a|=4,|б|=3, (а^б) = 60°.

Вариант III

1. Найдите угол между лучом OC и положительной полуосью OX, если C($$\sqrt{3}$$; 1).

Пусть $$\alpha$$ - угол между лучом OC и положительной полуосью OX.

Тогда $$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Так как $$x > 0$$ и $$y > 0$$, то точка C лежит в первой четверти, а значит, угол $$\alpha$$ находится в диапазоне от 0° до 90°.

$$\alpha = \arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = 30^\circ$$.

Ответ: 30°

2. Решите треугольник CDE, если $$\angle C = 60^\circ$$, $$CD = 8$$ дм, $$CE = 5$$ дм.

По теореме косинусов имеем:

$$DE^2 = CD^2 + CE^2 - 2 \cdot CD \cdot CE \cdot \cos C$$.

$$DE^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$$.

$$DE = \sqrt{49} = 7$$ дм.

По теореме синусов имеем: $$\frac{DE}{\sin C} = \frac{CD}{\sin E} = \frac{CE}{\sin D}$$.

$$\frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin E} = \frac{5}{\sin D}$$.

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Тогда:

$$\sin E = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{7} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$.

$$\angle E = \arcsin(\frac{4\sqrt{3}}{7}) \approx 71.3^\circ$$.

$$\sin D = \frac{5 \cdot \sin 60^\circ}{7} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}$$.

$$\angle D = \arcsin(\frac{5\sqrt{3}}{14}) \approx 31.79^\circ$$.

Ответ: $$DE = 7$$ дм, $$\angle E \approx 71.3^\circ$$, $$\angle D \approx 31.79^\circ$$.

3. Найдите косинус угла между векторами $$\vec{a}$$ и $$\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$$, если $$|\vec{a}| = 4$$, $$|\vec{b}| = 3$$, $$\angle (\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$$.

$$\vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$$.

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$.

$$\vec{a} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 4^2 - 6 = 16 - 6 = 10$$.

$$|\vec{n}|^2 = |\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 4^2 - 2 \cdot 6 + 3^2 = 16 - 12 + 9 = 13$$.

$$|\vec{n}| = \sqrt{13}$$.

$$\cos(\vec{a}, \vec{n}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{n}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{10}{4 \cdot \sqrt{13}} = \frac{10}{4\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26}$$.

Ответ: $$\frac{5\sqrt{13}}{26}$$.