Вариант ІІ 1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если В (3; 3). 2. Решите треугольник BCD, если угол В = 45°; угол D = 60°, ВС=√3 см. 3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если A (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

Вариант II

1. Найдите угол между лучом OB и положительной полуосью OX, если B(3; 3).

Пусть $$\alpha$$ - угол между лучом OB и положительной полуосью OX.

Тогда $$\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{3}{3} = 1$$.

Так как $$x > 0$$ и $$y > 0$$, то точка B лежит в первой четверти, а значит, угол $$\alpha$$ находится в диапазоне от 0° до 90°.

$$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$$.

Ответ: 45°

2. Решите треугольник BCD, если $$\angle B = 45^\circ$$, $$\angle D = 60^\circ$$, $$BC = \sqrt{3}$$ см.

Найдем угол C:

$$\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle D = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ$$.

По теореме синусов имеем: $$\frac{BC}{\sin D} = \frac{BD}{\sin C} = \frac{CD}{\sin B}$$.

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{BD}{\sin 75^\circ} = \frac{CD}{\sin 45^\circ}$$.

$$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin 75^\circ = \sin (30^\circ + 45^\circ) = \sin 30^\circ \cos 45^\circ + \cos 30^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$$.

Тогда:

$$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BD}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}} = \frac{CD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$.

$$BD = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$$ см.

$$CD = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$ см.

Ответ: $$\angle C = 75^\circ$$, $$BD = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$$ см, $$CD = \sqrt{2}$$ см.

3. Найдите косинусы углов A, B и C треугольника ABC, если A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Найдем векторы:

$$\vec{BA} = (3 - 0; 9 - 6) = (3; 3)$$.

$$\vec{BC} = (4 - 0; 2 - 6) = (4; -4)$$.

Косинус угла B:

$$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{3 \cdot 4 + 3 \cdot (-4)}{\sqrt{3^2 + 3^2} \cdot \sqrt{4^2 + (-4)^2}} = \frac{12 - 12}{\sqrt{9 + 9} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{0}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{32}} = 0$$.

Найдем векторы:

$$\vec{AB} = (0 - 3; 6 - 9) = (-3; -3)$$.

$$\vec{AC} = (4 - 3; 2 - 9) = (1; -7)$$.

Косинус угла A:

$$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{(-3) \cdot 1 + (-3) \cdot (-7)}{\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-7)^2}} = \frac{-3 + 21}{\sqrt{9 + 9} \cdot \sqrt{1 + 49}} = \frac{18}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{50}} = \frac{18}{3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} = 0.6$$.

Найдем векторы:

$$\vec{CA} = (3 - 4; 9 - 2) = (-1; 7)$$.

$$\vec{CB} = (0 - 4; 6 - 2) = (-4; 4)$$.

Косинус угла C:

$$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-1) \cdot (-4) + 7 \cdot 4}{\sqrt{(-1)^2 + 7^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + 4^2}} = \frac{4 + 28}{\sqrt{1 + 49} \cdot \sqrt{16 + 16}} = \frac{32}{\sqrt{50} \cdot \sqrt{32}} = \frac{32}{5\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0.8$$.

Ответ: $$\cos A = 0.6$$, $$\cos B = 0$$, $$\cos C = 0.8$$.