Вариант II. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что луч AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

а) Поскольку AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Точки B, M, C лежат на одной прямой, значит ∠AMB и ∠AMC — смежные. Кроме того, в параллелограмме BC ∥ AD, поэтому ∠AMC = ∠MAD (накрест лежащие углы). Следовательно, ∠BAM = 180° − ∠MAD. Вместе с ∠BAD = ∠BAM + ∠MAD это даёт 2∠BAM = 180°, что невозможно для невырожденного параллелограмма.

В условии, по-видимому, есть ошибка: из AB = BM и M ∈ BC нельзя доказать, что AM — биссектриса угла BAD. Например, при AB = BM точка M расположена на прямой BC на расстоянии AB от B, но угол между AM и AB в общем случае не равен углу между AM и AD.

б) Независимо от этого, CD = AB = 8 см. Так как BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см, периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: а) утверждение в условии неверно при данных обозначениях; б) периметр равен 40 см.