Вариант II. 3. Для правильной треугольной пирамиды DABC с ребром a при симметрии относительно точки D плоскость ABC перешла в плоскость A′B′C′. Найдите расстояние между этими плоскостями.

При симметрии относительно точки D каждая точка плоскости ABC переходит в точку по другую сторону от D на таком же расстоянии. Поэтому плоскость A′B′C′ параллельна ABC, а расстояние между плоскостями равно удвоенному расстоянию от D до плоскости ABC.

В правильной треугольной пирамиде основание ABC — равносторонний треугольник со стороной a. Расстояние от его центра до вершины основания равно радиусу описанной окружности: \(\frac{a}{\sqrt3}\). Высота пирамиды образует с этим радиусом и боковым ребром прямоугольный треугольник, поэтому \(h^2=a^2-\left(\frac{a}{\sqrt3}\right)^2=\frac{2a^2}{3}\), откуда \(h=a\sqrt{\frac23}\).

Следовательно, расстояние между плоскостями равно \(2h=2a\sqrt{\frac23}=\frac{2a\sqrt6}{3}\).

Ответ: \(\frac{2a\sqrt6}{3}\).