Вариант II. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −0,5; б) значения x, при которых y = −1; в) значения функции, промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Приведём функцию к виду с выделенным квадратом:

y = 2x² + 8x + 2 = 2(x + 2)² − 6.

Это парабола с вершиной (−2; −6), ветви направлены вверх. Для построения можно отметить также точки (−4; 2), (0; 2) и нули функции x = −2 ± √3.

а) Подставим x = −0,5: y = 2 · 0,25 − 4 + 2 = −1,5.

б) Решим уравнение 2x² + 8x + 2 = −1: 2x² + 8x + 3 = 0, откуда x = −2 ± √10/2.

в) Нули функции: x = −2 − √3 и x = −2 + √3. Поскольку ветви параболы направлены вверх, y > 0 при x < −2 − √3 и x > −2 + √3; y < 0 при −2 − √3 < x < −2 + √3. Наименьшее значение функции равно −6, поэтому множество её значений: [−6; +∞).

г) До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Следовательно, она возрастает при x > −2.

Ответ: а) −1,5; б) x = −2 ± √10/2; в) y > 0 при x < −2 − √3 или x > −2 + √3, y < 0 при −2 − √3 < x < −2 + √3; г) функция возрастает при x > −2.