Вариант III (для более подготовленных учащихся). 1. Лежат ли точки M, N и P на одной прямой, если MP = 12 см, MN = 5 см, PN = 8 см? 2. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 37°. 3. На рисунке 6 AB ⟂ CD, луч OE — биссектриса угла AOD. Найдите угол COE.

Для трёх точек на одной прямой одна из трёх длин должна равняться сумме двух других. Здесь 5 + 8 = 13, а не 12; остальные суммы также не дают третьего отрезка. Следовательно, точки не лежат на одной прямой.

Ответ: нет.

При пересечении двух прямых образуются пары вертикальных углов: углы в каждой паре равны, а смежные углы в сумме дают 180°. Пусть меньший угол равен x, тогда больший равен 180° − x. По условию:

(180° − x) − x = 37°, откуда 2x = 143° и x = 71,5°. Второй угол равен 180° − 71,5° = 108,5°. Каждый из этих углов встречается дважды.

Ответ: 71,5°, 108,5°, 71,5°, 108,5°.

Так как AB ⟂ CD, угол AOD прямой: ∠AOD = 90°. Луч OE — его биссектриса, поэтому ∠EOD = 45°. Лучи OC и OD противоположны, значит, ∠COE = 180° − 45° = 135°.

Ответ: 135°.