2 вариант 1. Найдите двадцатый член арифметической прогрессии, если $$a_1 = -8$$, $$d = 2$$. 2. Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии: 7, 11, 15,.... 3. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если $$b_1 = 4$$, $$q = \frac{1}{4}$$. 4. Первый член геометрической прогрессии равен 4, а знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии. 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 256; 128; 64;... Найдите сумму первых семи её членов.

Решение 2 вариант: 1. Найдем двадцатый член арифметической прогрессии, используя формулу $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$a_1 = -8$$, $$d = 2$$, $$n = 20$$. \begin{equation*} a_{20} = -8 + (20-1) cdot 2 = -8 + 19 cdot 2 = -8 + 38 = 30 \end{equation*} Ответ: 30 2. Найдем сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии. Сначала найдем разность арифметической прогрессии: $$d = 11 - 7 = 4$$. Первый член $$a_1 = 7$$. Найдем восемнадцатый член $$a_{18} = a_1 + (18-1)d = 7 + 17 cdot 4 = 7 + 68 = 75$$. Используем формулу суммы $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} cdot n$$, где $$n=18$$. \begin{equation*} S_{18} = \frac{7 + 75}{2} cdot 18 = \frac{82}{2} cdot 18 = 41 cdot 18 = 738 \end{equation*} Ответ: 738 3. Найдем пятый член геометрической прогрессии. Используем формулу $$b_n = b_1 cdot q^{n-1}$$, где $$b_1 = 4$$, $$q = \frac{1}{4}$$, $$n=5$$. \begin{equation*} b_5 = 4 cdot (\frac{1}{4})^{5-1} = 4 cdot (\frac{1}{4})^4 = 4 cdot \frac{1}{256} = \frac{4}{256} = \frac{1}{64} \end{equation*} Ответ: $$\frac{1}{64}$$ 4. Найдем сумму семи первых членов геометрической прогрессии. Используем формулу $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$, где $$b_1 = 4$$, $$q = 2$$, $$n = 7$$. \begin{equation*} S_7 = \frac{4(1-2^7)}{1-2} = \frac{4(1-128)}{-1} = \frac{4(-127)}{-1} = 4 cdot 127 = 508 \end{equation*} Ответ: 508 5. Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: 256; 128; 64;... Найдите сумму первых семи её членов. Сначала найдем знаменатель прогрессии: $$q = \frac{128}{256} = \frac{1}{2}$$. Тогда $$b_1 = 256$$ и $$q = \frac{1}{2}$$. Используем формулу $$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$$, где $$b_1 = 256$$, $$q = \frac{1}{2}$$, $$n = 7$$. \begin{equation*} S_7 = \frac{256(1-(\frac{1}{2})^7)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{256(1-\frac{1}{128})}{\frac{1}{2}} = \frac{256(\frac{127}{128})}{\frac{1}{2}} = 256 \cdot \frac{127}{128} \cdot 2 = 2 \cdot 127 \cdot 2 = 508 \end{equation*} Ответ: 508