Вариант С. 1. Даны векторы \(\vec a(2;3;1)\), \(\vec b(4;-1;-3)\). Найдите координаты вектора \(3\vec a+2\vec b\). 2. Найдите длину вектора \(\vec a+3\vec b\), если \(\vec a(2;1;-5)\), \(\vec b(-3;0;1)\). 3. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec a(-2;3;1)\), \(\vec b(-3;0;2)\). 4. При каких значениях \(m\) и \(n\) векторы \(\vec a(4;3;1)\) и \(\vec b(m;n;2)\) коллинеарны?

1. Умножаем координаты каждого вектора на соответствующий коэффициент и складываем:

\(3\vec a+2\vec b=(6;9;3)+(8;-2;-6)=(14;7;-3)\).

2. Находим координаты вектора:

\(\vec a+3\vec b=(2;1;-5)+(-9;0;3)=(-7;1;-2)\).

Вычисляем длину:

\(|\vec a+3\vec b|=\sqrt{(-7)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{54}=3\sqrt6\).

3. \(\vec a\cdot\vec b=(-2)(-3)+3\cdot0+1\cdot2=8\).

4. Для коллинеарности координаты векторов должны быть пропорциональны: \((m;n;2)=k(4;3;1)\). Из третьей координаты получаем \(k=2\). Поэтому \(m=2\cdot4=8\), \(n=2\cdot3=6\).

Ответ: 1) \((14;7;-3)\); 2) \(3\sqrt6\); 3) 8; 4) \(m=8\), \(n=6\).