4 вариант 19. В треугольнике АВС ВМ - медиана и ВН - вы- сота. Известно, что АС=120, НС-30 и ∠ACB-37°. Найдите АМВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1) Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 120/2 = 60.

2) AH = AC - HC = 120 - 30 = 90.

3) Рассмотрим треугольник BHC - прямоугольный. Найдем угол CBH:

$$∠CBH = 90° - ∠BCH = 90° - 37° = 53°$$

4) Рассмотрим треугольник ABH - прямоугольный. Найдем угол ABH:

$$tg ∠ABH = AH/BH$$

5) Рассмотрим треугольник ABC. Найдем угол BAC:

$$∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠BCA$$

6) Рассмотрим треугольник AMB. Найдем угол AMB:

$$∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM$$

Для решения задачи не хватает данных о длине BH. Без знания длины BH или угла ABC невозможно точно определить угол AMB.

Предположим, что треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC). Тогда ∠BAC = ∠BCA = 37°. Следовательно, ∠ABC = 180° - 37° - 37° = 106°.

В этом случае ∠ABM = ∠ABC/2 = 106°/2 = 53°.

∠BAM = 37°.

Тогда ∠AMB = 180° - 37° - 53° = 90°.

Однако, это лишь предположение, основанное на допущении о равнобедренности треугольника. Без дополнительных данных точное решение невозможно.

Предположим, что треугольник ABC прямоугольный и ∠ABC = 90°.

Тогда ∠BAC = 180° - 90° - 37° = 53°.

Так как BM медиана, проведенная из вершины прямого угла, то она равна половине гипотенузы: BM = AM = MC = 60.

Тогда треугольник ABM - равнобедренный, и ∠BAM = ∠ABM = 53°.

Следовательно, ∠AMB = 180° - 53° - 53° = 74°.

Ответ: 74° (при условии, что треугольник ABC прямоугольный)