Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Вариант В2. Решите уравнения: а) x⁶ + 2x⁴ − 3x² = 0; б) x³ + 5x² − 15x − 27 = 0; в) (x² − 5x − 7)² − (x − 3)(x − 2) = 1; г)…Фото задания

Ответ:

  1. Вынесем x² за скобки и положим t = x²: x²(x⁴ + 2x² − 3) = x²(t − 1)(t + 3) = 0. Отсюда x = 0 или t = 1. Значение t = −3 невозможно, поскольку x² ≥ 0. Поэтому x = 0; ±1.

  2. Подстановка x = 3 обращает левую часть в ноль, поэтому выделим множитель x − 3: x³ + 5x² − 15x − 27 = (x − 3)(x² + 8x + 9). Решая квадратное уравнение, получаем x = −4 ± √7. Вместе с корнем x = 3 это все решения.

  3. Положим q = x² − 5x − 7. Тогда (x − 3)(x − 2) = x² − 5x + 6 = q + 13. Уравнение принимает вид q² − q − 14 = 0, откуда q = (1 ± √57)/2.

    Из x² − 5x − 7 = q получаем x = (5 ± √(53 + 4q))/2. Подставляя оба значения q, находим четыре корня: x = (5 ± √(55 + 2√57))/2 и x = (5 ± √(55 − 2√57))/2.

  4. Используем разность квадратов: A² = B² означает A = B или A = −B. Поэтому x² − 3x = 2x − 6 либо x² − 3x = −2x + 6.

    В первом случае x² − 5x + 6 = 0, откуда x = 2 или x = 3. Во втором случае x² − x − 6 = 0, откуда x = 3 или x = −2.

Ответ: а) −1; 0; 1. б) −4 − √7; −4 + √7; 3. в) (5 ± √(55 + 2√57))/2 и (5 ± √(55 − 2√57))/2. г) −2; 2; 3.