1076 Векторы \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) не коллинеарны. Найдите такое число х (если это возможно), чтобы векторы \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) были коллинеарны: a) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\); б) \(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\); в) \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\); г) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).

Для того чтобы векторы \(\overrightarrow{p}\) и \(\overrightarrow{q}\) были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число k, что \(\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{q}\). Рассмотрим каждый случай:

1. a) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\) $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b})$$ $$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}+kx\overrightarrow{b}$$ Сопоставляя коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), получаем систему уравнений: $$\begin{cases} 2 = k \\ -1 = kx \end{cases}$$ $$k = 2, x = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}$$ Таким образом, \(x = -\frac{1}{2}\).
2. б) \(\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\) $$x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b})$$ $$x\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}+kx\overrightarrow{b}$$ Сопоставляя коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), получаем систему уравнений: $$\begin{cases} x = k \\ -1 = kx \end{cases}$$ $$x = k, -1 = x^2$$ Квадрат числа не может быть отрицательным, следовательно, решения нет.
3. в) \(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) $$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})$$ $$\overrightarrow{a}+x\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}-2k\overrightarrow{b}$$ Сопоставляя коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), получаем систему уравнений: $$\begin{cases} 1 = k \\ x = -2k \end{cases}$$ $$k = 1, x = -2$$ Таким образом, \(x = -2\).
4. г) \(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{q}=x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) $$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = k(x\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$$ $$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = kx\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$$ Сопоставляя коэффициенты при \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\), получаем систему уравнений: $$\begin{cases} 2 = kx \\ 1 = k \end{cases}$$ $$k = 1, x = \frac{2}{k} = 2$$ Таким образом, \(x = 2\).

Ответ: a) \(x = -\frac{1}{2}\); б) решения нет; в) \(x = -2\); г) \(x = 2\).