Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=\vec 0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=\vec 0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=\vec 0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) \(3\vec a-x\vec b=y\vec…$ Фото задания

Векторы $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны. Найдите числа x и y, удовлетворяющие равенству: а) $3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$; б) $4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=\vec 0$; в) $x\vec a+3\vec b-y\vec b=\vec 0$; г) $\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=\vec 0$.

Accepted Answer

Поскольку $\vec a$ и $\vec b$ не коллинеарны, равенство их линейных комбинаций выполняется только при равенстве соответствующих коэффициентов.

а) Собираем коэффициенты: $(3-y)\vec a+(-x-1)\vec b=\vec 0$. Поэтому $3-y=0$, $-x-1=0$, откуда $y=3$, $x=-1$.
б) Группируем слагаемые: $(4-x)\vec a+(5+y)\vec b=\vec 0$. Следовательно, $4-x=0$, $5+y=0$, откуда $x=4$, $y=-5$.
в) Получаем $x\vec a+(3-y)\vec b=\vec 0$. Значит, $x=0$, $3-y=0$, то есть $y=3$.
г) Группируем: $(1-3y)\vec a+(1+x)\vec b=\vec 0$. Поэтому $1-3y=0$, $1+x=0$, откуда $y=\frac{1}{3}$, $x=-1$.

Ответ: а) $x=-1, y=3$; б) $x=4, y=-5$; в) $x=0, y=3$; г) $x=-1, y=\frac{1}{3}$.