Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Пусть $$v$$ - скорость велосипедиста из А в В (в км/ч), а $$t$$ - время, затраченное на путь из А в В (в часах). Тогда $$vt = 209$$. На обратном пути скорость велосипедиста была $$v + 8$$ км/ч, а время в пути составило $$t - 8$$ часов (учитывая остановку). Таким образом, $$(v+8)(t-8) = 209$$. Имеем систему уравнений: $$\begin{cases} vt = 209, \\ (v+8)(t-8) = 209. \end{cases}$$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$vt - 8v + 8t - 64 = 209$$. Так как $$vt = 209$$, то $$209 - 8v + 8t - 64 = 209$$, откуда $$-8v + 8t = 64$$, или $$t - v = 8$$, то есть $$t = v + 8$$. Подставим $$t = v + 8$$ в первое уравнение: $$v(v+8) = 209$$, $$v^2 + 8v - 209 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$D = 8^2 - 4(1)(-209) = 64 + 836 = 900$$, $$\sqrt{D} = 30$$. $$v_1 = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11$$, $$v_2 = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной). Итак, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 11 км/ч. Ответ: 11