15. Вера загадала число. Она сказала: «Если моё число разделить на 11, то остаток будет в 2 раза меньше, чем частное». Какое число загадала Вера, если известно, что загаданное число больше 120, но меньше 150? Запишите решение и ответ.

Решение: Пусть загаданное число равно $$x$$, частное от деления на 11 равно $$q$$, а остаток равен $$r$$. Тогда можно записать: $$x = 11q + r$$ Из условия задачи известно, что остаток в 2 раза меньше частного, то есть: $$r = \frac{q}{2}$$ Подставим это в первое уравнение: $$x = 11q + \frac{q}{2} = \frac{22q + q}{2} = \frac{23q}{2}$$ Так как $$x$$ - целое число, то $$q$$ должно быть четным. Пусть $$q = 2k$$, где $$k$$ - целое число. Тогда: $$x = \frac{23 \cdot 2k}{2} = 23k$$ Известно, что $$120 < x < 150$$. Подставим $$x = 23k$$: $$120 < 23k < 150$$ Разделим все части неравенства на 23: $$\frac{120}{23} < k < \frac{150}{23}$$ $$5.22 < k < 6.52$$ Так как $$k$$ - целое число, то $$k = 6$$. Тогда $$x = 23k = 23 \cdot 6 = 138$$. Проверим: $$138 : 11 = 12$$ (частное) и $$6$$ (остаток). Остаток (6) действительно в 2 раза меньше частного (12). Ответ: 138.