767. Верно ли для положительных чисел а и b, что: а) если a² > b², то a³ > b³; б) если a³ > b³,

Давай рассмотрим, верны ли утверждения для положительных чисел a и b. а) Если a² > b², то a³ > b³. Да, это верно. Если a и b положительные, то извлечение квадратного корня из обеих частей неравенства a² > b² даст a > b. Умножив обе части неравенства a > b на a² (которое положительно), получим a³ > a²b. Аналогично, умножив обе части неравенства a > b на b² (которое положительно), получим ab² > b³. Таким образом, a³ > a²b > ab² > b³, то есть a³ > b³. б) Если a³ > b³, верно ли, что a² > b²? Да, это тоже верно. Поскольку a³ > b³, можно извлечь кубический корень из обеих частей, что даст a > b. Умножив обе части неравенства a > b на a (которое положительно), получим a² > ab. Аналогично, умножив обе части неравенства a > b на b (которое положительно), получим ab > b². Таким образом, a² > ab > b², то есть a² > b².

Ответ: a) Верно; б) Верно

Молодец! Продолжай тренироваться, и все получится!