Вершина A треугольника ABC принадлежит плоскости α, а вершины B и C ей не принадлежат. Продолжения биссектрис BM и CK треугольника ABC пересекают плоскость α в точках E и F соответственно. Докажите, что точки A, E и F лежат на одной прямой.

Обозначим через β плоскость треугольника ABC.

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой, поэтому они определяют плоскость β.
2. Точка A принадлежит одновременно плоскостям α и β.
3. Биссектриса BM лежит в плоскости β. Так как её продолжение пересекает плоскость α в точке E, точка E принадлежит и α, и β.
4. Аналогично, продолжение биссектрисы CK пересекает плоскость α в точке F, поэтому F принадлежит и α, и β.
5. Плоскости α и β различны, поскольку B и C не принадлежат плоскости α. Следовательно, их пересечение является прямой.

Точки A, E и F принадлежат пересечению плоскостей α и β. Значит, они лежат на одной прямой.

Ответ: точки A, E и F коллинеарны.