Вершины куба ABCDA1B1C1D₁ имеют координаты A(3;1;-1), B(-1; 1; −1), D(3; 5; −1), A₁ (3; 1; 3). а) Найдите координаты вершин А, и Ст. б) Разложите по координатным векторам вектор BD₁.

а) Найдите координаты вершин А₁ и C₁

Чтобы найти координаты вершин A₁ и C₁, воспользуемся тем, что куб ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелепипедом. Зная координаты точек, найдем векторы, задающие параллелепипед.

В данном случае, поскольку нам известны координаты точек A, B, D и A₁, мы можем найти векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\).

Координаты точки C можно найти, сложив векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) и прибавив их к координатам точки A. Координаты точки C₁ можно найти, сложив векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AA_1}\) и прибавив их к координатам точки A.

• \(\overrightarrow{AB} = (-1 - 3; 1 - 1; -1 - (-1)) = (-4; 0; 0)\)
• \(\overrightarrow{AD} = (3 - 3; 5 - 1; -1 - (-1)) = (0; 4; 0)\)
• \(\overrightarrow{AA_1} = (3 - 3; 1 - 1; 3 - (-1)) = (0; 0; 4)\)

Тогда координаты точки C равны:

• \(C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = (3 - 4 + 0; 1 + 0 + 4; -1 + 0 + 0) = (-1; 5; -1)\)

Координаты точки C₁ равны:

• \(C_1 = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = (3 - 4 + 0 + 0; 1 + 0 + 4 + 0; -1 + 0 + 0 + 4) = (-1; 5; 3)\)

Ответ: C(-1; 5; -1), C₁(-1; 5; 3)

б) Разложите по координатным векторам вектор BD₁

Координаты точек B(-1; 1; -1) и D₁(3; 5; 3). Найдем вектор \(\overrightarrow{BD_1}\):

• \(\overrightarrow{BD_1} = (3 - (-1); 5 - 1; 3 - (-1)) = (4; 4; 4)\)

Разложим вектор \(\overrightarrow{BD_1}\) по координатным векторам \(\overrightarrow{i}(1; 0; 0)\), \(\overrightarrow{j}(0; 1; 0)\) и \(\overrightarrow{k}(0; 0; 1)\):

\(\overrightarrow{BD_1} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}\)

Ответ: \(\overrightarrow{BD_1} = 4\overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{k}\)