Вопрос 6: Сколько корней имеет уравнение $$cosx = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, принадлежащие отрезку $$[-2\pi; \frac{\pi}{2}]$$?

Для решения задачи нужно найти все значения $$x$$ в заданном интервале, для которых выполняется уравнение $$cosx = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. 1. Находим общее решение уравнения $$cosx = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Известно, что $$cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$, где $$k$$ - целое число. 2. Находим корни, принадлежащие отрезку $$[-2\pi; \frac{\pi}{2}]$$. * При $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$: * $$k = 0: x = \frac{\pi}{6}$$. Это значение входит в заданный интервал. * $$k = -1: x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$$. Это значение входит в заданный интервал, так как $$-2\pi = -\frac{12\pi}{6} < -\frac{11\pi}{6}$$. * $$k = 1: x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $$\frac{13\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$$. * При $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$: * $$k = 0: x = -\frac{\pi}{6}$$. Это значение входит в заданный интервал. * $$k = -1: x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi + 12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6}$$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $$-2\pi = -\frac{12\pi}{6} > -\frac{13\pi}{6}$$. * $$k = 1: x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{-\pi + 12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$$. Это значение не входит в заданный интервал, так как $$\frac{11\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$$. 3. Таким образом, найдены три корня: $$\frac{\pi}{6}$$, $$-\frac{11\pi}{6}$$ и $$-\frac{\pi}{6}$$. **Ответ: 3 корня**