Вопрос 2. Вычислите определённый интеграл: $$\int_{-\frac{5\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{5}} \cos(0.5x) dx$$

Для вычисления определенного интеграла $$\int_{-\frac{5\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{5}} \cos(0.5x) dx$$, сначала найдем первообразную функции $$f(x) = \cos(0.5x)$$, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница. 1. Находим первообразную: Первообразная $$F(x)$$ для $$f(x) = \cos(0.5x)$$ находится путем интегрирования: $$F(x) = \int \cos(0.5x) dx = 2\sin(0.5x) + C$$ Здесь C - константа интегрирования, которую можно опустить при вычислении определенного интеграла. 2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$ В нашем случае, $$a = -\frac{5\pi}{3}$$ и $$b = \frac{3\pi}{5}$$. Поэтому: $$\int_{-\frac{5\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{5}} \cos(0.5x) dx = F(\frac{3\pi}{5}) - F(-\frac{5\pi}{3})$$ 3. Вычисляем значения первообразной в точках $$b = \frac{3\pi}{5}$$ и $$a = -\frac{5\pi}{3}$$: $$F(\frac{3\pi}{5}) = 2\sin(0.5 \cdot \frac{3\pi}{5}) = 2\sin(\frac{3\pi}{10})$$ $$F(-\frac{5\pi}{3}) = 2\sin(0.5 \cdot (-\frac{5\pi}{3})) = 2\sin(-\frac{5\pi}{6}) = -2\sin(\frac{5\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$$ 4. Вычисляем разность: $$\int_{-\frac{5\pi}{3}}^{\frac{3\pi}{5}} \cos(0.5x) dx = F(\frac{3\pi}{5}) - F(-\frac{5\pi}{3}) = 2\sin(\frac{3\pi}{10}) - (-1) = 2\sin(\frac{3\pi}{10}) + 1$$ Так как $$\sin(\frac{3\pi}{10}) = \sin(54^\circ) \approx 0.809$$, то $$2 \cdot 0.809 + 1 = 1.618 + 1 = 2.618 \approx 2$$ Ответ: 2