Вопрос 1. Вычислите определённый интеграл: $$\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx$$

Для вычисления определенного интеграла $$\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx$$, сначала найдем первообразную функции $$f(x) = x^2 - 6x + 9$$, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница. 1. Находим первообразную: Первообразная $$F(x)$$ для $$f(x) = x^2 - 6x + 9$$ находится путем интегрирования каждого члена: $$F(x) = \int (x^2 - 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x + C$$ Здесь C - константа интегрирования, которую можно опустить при вычислении определенного интеграла. 2. Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$ В нашем случае, $$a = -1$$ и $$b = 2$$. Поэтому: $$\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = F(2) - F(-1)$$ 3. Вычисляем значения первообразной в точках 2 и -1: $$F(2) = \frac{2^3}{3} - 3(2)^2 + 9(2) = \frac{8}{3} - 12 + 18 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8 + 18}{3} = \frac{26}{3}$$ $$F(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3(-1)^2 + 9(-1) = -\frac{1}{3} - 3 - 9 = -\frac{1}{3} - 12 = \frac{-1 - 36}{3} = -\frac{37}{3}$$ 4. Вычисляем разность: $$\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = F(2) - F(-1) = \frac{26}{3} - \left(-\frac{37}{3}\right) = \frac{26}{3} + \frac{37}{3} = \frac{26 + 37}{3} = \frac{63}{3} = 21$$ Ответ: 21