Вопрос № 10. 10.1. Найти наименьшее натуральное число n, такое, что число 3·2ⁿ + n² делилось бы на 11. 10.2. Найти наименьшее натуральное число, остатки от деления которого на 2, 3, 4, 5 и 6 различны. 10.3. Одному участнику игры было предложено 14 вопросов. За каждый правильный ответ он получал 8 баллов, неправильный или отсутствие ответа — снималось 9 баллов. Сколько верных ответов дал участник игры, если [числовые данные обрезаны]

10.1. Проверим натуральные числа по порядку: при \(n=1\) получаем \(3\cdot2+1=7\), а при \(n=2\) — \(3\cdot4+4=16\); ни одно число не делится на 11. При \(n=3\): \(3\cdot2^3+3^2=24+9=33=11\cdot3\). Значит, наименьшее подходящее \(n=3\).

10.2. Остатки при делении на 2 и 4 имеют одинаковую чётность. Чтобы они были различными, число должно иметь вид \(n\equiv2\pmod4\) или \(n\equiv3\pmod4\). Для всех таких чисел меньше 35 проверка показывает совпадающие остатки:

\(2\): остатки на 3 и 4 равны 2; \(3\): на 4 и 5 равны 3; \(6\): на 2 и 3 равны 0; \(7\): на 2 и 3 равны 1; \(10\): на 2 и 5 равны 0; \(11\): на 2 и 5 равны 1; \(14\): на 3 и 4 равны 2; \(15\): на 3 и 5 равны 0; \(18\): на 2 и 3 равны 0; \(19\): на 2 и 6 равны 1; \(22\): на 3 и 4 равны 2; \(23\): на 4 и 5 равны 3; \(26\): на 3 и 4 равны 2; \(27\): на 4 и 6 равны 3; \(30\): на 2 и 3 равны 0; \(31\): на 2 и 3 равны 1; \(34\): на 5 и 6 равны 4.

Для \(n=35\) остатки при делении соответственно на 2, 3, 4, 5 и 6 равны 1, 2, 3, 0 и 5 — все различны. Следовательно, это наименьшее подходящее число.

10.3. Эту часть нельзя определить: конец условия с общим результатом игры обрезан. Пришлите фрагмент целиком, включая указанное количество набранных баллов, чтобы можно было найти число правильных ответов.

Ответ: 10.1) 3; 10.2) 35.