Вопрос № 9. 9.1. Число n меньше 20 и является квадратом натурального числа. К нему прибавили 33 и вновь получили квадрат. Найти n. 9.2. На доске были написаны 11 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма десяти оставшихся оказалась равна 2022. Какое число стёрли? 9.3. Найти натуральное число меньше 100, которое при умножении на 2 становится квадратом, а при умножении на 3 — кубом.

9.1. Квадраты натуральных чисел, меньшие 20: 1, 4, 9, 16. Прибавим к ним 33: получаем 34, 37, 42, 49. Только 49 — квадрат, поэтому \(n=16\).

9.2. Обозначим наименьшее из 11 чисел через \(a\), а стёртое число — через \(a+k\), где \(0\le k\le10\). Сумма всех 11 чисел равна \(11(a+5)\), поэтому сумма оставшихся равна \(11(a+5)-(a+k)=10a+55-k\).

Приравниваем к 2022: \(10a+55-k=2022\), то есть \(10a-k=1967\). Отсюда \(k\equiv3\pmod{10}\), а поскольку \(0\le k\le10\), получаем \(k=3\). Тогда \(a=197\), и стёрли число \(a+k=200\).

9.3. Разложим \(n\) на простые множители. Чтобы \(2n\) было квадратом, показатель простого множителя 2 в \(n\) должен быть нечётным. Чтобы \(3n\) было кубом, этот показатель должен делиться на 3. Наименьший подходящий показатель — 3. Аналогично, показатель 3 в \(n\) должен быть чётным (для квадрата \(2n\)) и на единицу больше кратного 3 (для куба \(3n\)); наименьший такой показатель — 2. Для остальных простых множителей минимальные показатели — 0. Поэтому наименьшее возможное число — \(n=2^3\cdot3^2=72\). Проверка: \(2n=144=12^2\), \(3n=216=6^3\), и \(72<100\).

Ответ: 9.1) 16; 9.2) 200; 9.3) 72.