Вопрос № 8. 8.1. Число N — произведение трех последовательных натуральных чисел. Сумма частных, полученных от деления N на каждый из трех сомножителей, равна 107. Чему равно N? 8.2. Найдите наименьшее простое число, сумма цифр которого равна 17. 8.3. Сколькими способами можно выбрать из множества {1, 2, 3, …, 50} пару чисел, разность которых равна 11, а произведение делилось на 6?

8.1. Пусть числа — \(k\), \(k+1\), \(k+2\). При делении их произведения на эти числа получаем соответственно \((k+1)(k+2)\), \(k(k+2)\) и \(k(k+1)\).

По условию их сумма равна 107:

\((k+1)(k+2)+k(k+2)+k(k+1)=107\),
\(3k^2+6k+2=107\),
\(k^2+2k-35=0\),
\((k-5)(k+7)=0\).

Так как \(k\) — натуральное число, \(k=5\). Тогда \(N=5\cdot6\cdot7=210\).

8.2. Однозначное число не может иметь сумму цифр 17. Наименьшее двузначное число с такой суммой — 89. Оно простое: не делится на 2, 3, 5 или 7 — простые числа, не превосходящие \(\sqrt{89}\).

8.3. Пара с разностью 11 имеет вид \((x,x+11)\), где \(1\le x\le39\). Разность нечётная, поэтому одно из чисел чётное и произведение делится на 2. Для делимости на 3 нужно, чтобы одно из чисел делилось на 3. При этом \(11\equiv2\pmod 3\): если \(x\equiv0\), на 3 делится первое число, а если \(x\equiv1\), то второе. Значит, подходят ровно числа \(x\equiv0\) или \(1\pmod3\)? Проверим: при \(x\equiv1\) имеем \(x+11\equiv0\); при \(x\equiv0\) имеем \(x\equiv0\). Таким образом, исключаются только \(x\equiv2\pmod3\).

Среди 39 значений \(x=1,\ldots,39\) таких исключённых значений 13, поэтому подходят \(39-13=26\).

Ответ: 8.1) 210; 8.2) 89; 8.3) 26 способов.