Вопрос 6 Найти область определения функции y = 2 cos2x+cos2

Предмет: Математика/Тригонометрия

1. Функция $$y = \frac{2}{\cos 2x + \cos x}$$ определена, когда знаменатель не равен нулю:$$\cos 2x + \cos x
   eq 0$$
2. Используем формулу двойного угла:$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$Тогда уравнение принимает вид:$$2\cos^2 x + \cos x - 1
   eq 0$$
3. Сделаем замену $$t = \cos x$$, тогда уравнение:$$2t^2 + t - 1
   eq 0$$Найдем корни квадратного уравнения:$$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$$$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$$$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$
4. Вернемся к замене:$$\cos x
   eq \frac{1}{2}$$$$\cos x
   eq -1$$
5. Решим тригонометрические уравнения:$$x
   eq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$$$x
   eq \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$
6. Объединим решения, получим область определения функции:$$x
   eq \pi + 2\pi n, x
   eq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$\boxed{x
eq \pi + 2\pi n, x
eq \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}}$$