Вопросы для закрепления: 1. Что такое главный аргумент комплексного числа? 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа, множество комплексных чисел? 3. Какие правила действий над комплексными числами в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление) вы знаете? 4. Как выглядит тригонометрическая форма комплексного числа? 5. Как выглядит показательная форма комплексного числа?

Главный аргумент ненулевого комплексного числа — единственное значение его аргумента, выбранное из промежутка \((-\pi;\pi]\). Для нуля аргумент не определён.

Комплексное число \(z=a+bi\) изображается точкой \((a;b)\) комплексной плоскости: горизонтальная координата — действительная часть, вертикальная — коэффициент при \(i\). Множество комплексных чисел — \(\mathbb C=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb R,\ i^2=-1\}\).

Для \(z_1=a+bi\) и \(z_2=c+di\): сложение и вычитание выполняются отдельно для действительных и мнимых частей; \(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\), \(z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\). Умножение: \(z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\). При \(z_2\ne0\) деление выполняют умножением числителя и знаменателя на сопряжённое число: \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i\).

Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа: \(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), где \(r=|z|>0\), а \(\varphi\) — аргумент числа.

Показательная форма: \(z=re^{i\varphi}\), где \(r=|z|>0\); она следует из формулы Эйлера \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\).