3. Все рёбра правильной пирамиды SABCD равны 4, точки ТИР - середины рёбер BS и DS. Найдите длину векто- ра, равного сумме векторов ВР + РТ + AB.

В правильной пирамиде SABCD, где все рёбра равны 4, точки T и P — середины рёбер BS и DS.

Имеем сумму векторов \(\vec{BP} + \vec{PT} + \vec{AB}\).

Используем правило сложения векторов:

$$\vec{BP} + \vec{PT} = \vec{BT}$$

Теперь, \(\vec{BT} + \vec{AB}\) можно сложить по правилу треугольника, то есть:

$$\vec{BT} + \vec{AB} = \vec{AT}$$

Нужно найти длину вектора \(\vec{AT}\).

Так как все ребра пирамиды равны 4, то \(BS = SC = 4\). T - середина \(BS\), следовательно, \(BT = TS = 2\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle ABS\), он равнобедренный, так как \(AB = BS = 4\).

В равнобедренном треугольнике \(ABS\), \(AT\) не является ни медианой, ни высотой.

Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны \(AT\):

$$\(AT^2 = AB^2 + BT^2 - 2 \cdot AB \cdot BT \cdot cos(\angle ABT)\)

Так как \(\triangle ABS\) равносторонний, то \(\angle ABS = 60^\circ\), следовательно, \(cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

$$\(AT^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 4 - 8 = 12\)

$$\(AT = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

Ответ: \(2\sqrt{3}\)