Вычислить интегралы: 6. ∫ cos⁴x sin x dx, замена t = cos x.

Решение:

Используем метод замены переменной. Дано \( t = \cos x \). Тогда \( dt = -\sin x dx \), следовательно \( \sin x dx = -dt \).

Подставляем в интеграл:

\[ \int \cos^4 x \sin x dx = \int t^4 (-dt) \]

\[ = -\int t^4 dt \]

Теперь интегрируем по \( t \) как степенную функцию:

\[ = -\frac{t^{4+1}}{4+1} + C \]

\[ = -\frac{t^5}{5} + C \]

Подставляем обратно \( t = \cos x \):

\[ = -\frac{(\cos x)^5}{5} + C \]

\[ = -\frac{\cos^5 x}{5} + C \]

Ответ: \( -\frac{\cos^5 x}{5} + C \).