Вычислить интегралы: 7. ∫ x/(4x²+1) dx, замена t = 4x²+1.

Решение:

Используем метод замены переменной. Дано \( t = 4x^2 + 1 \). Тогда \( dt = 8x dx \), следовательно \( x dx = \frac{1}{8} dt \).

Подставляем в интеграл:

\[ \int \frac{x}{4x^2+1} dx = \int \frac{1}{4x^2+1} (x dx) \]

\[ = \int \frac{1}{t} \left(\frac{1}{8} dt\right) \]

\[ = \frac{1}{8} \int \frac{1}{t} dt \]

Интеграл от \( \frac{1}{t} \) есть натуральный логарифм:

\[ = \frac{1}{8} \ln|t| + C \]

Подставляем обратно \( t = 4x^2 + 1 \):

\[ = \frac{1}{8} \ln|4x^2+1| + C \]

Поскольку \( 4x^2+1 \) всегда положительно, модуль можно убрать:

\[ = \frac{1}{8} \ln(4x^2+1) + C \]

Ответ: \( \frac{1}{8} \ln(4x^2+1) + C \).