Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+2 и y = 2x - x²/2 + 6

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций \( y = x+2 \) и \( y = 2x - \frac{x^2}{2} + 6 \):
   \( x+2 = 2x - \frac{x^2}{2} + 6 \)
   \( \frac{x^2}{2} - x - 4 = 0 \)
   \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
   Найдем корни уравнения: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \)
   \( x_1 = \frac{2+6}{2} = 4 \)
   \( x_2 = \frac{2-6}{2} = -2 \)
2. Вычислим площадь фигуры, используя определенный интеграл:
   \( S = \int_{-2}^{4} \left( (2x - \frac{x^2}{2} + 6) - (x+2) \right) dx \)
   \( S = \int_{-2}^{4} \left( -\frac{x^2}{2} + x + 4 \right) dx \)
   \( S = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4} \)
   \( S = \left( -\frac{4^3}{6} + \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{6} + \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) \right) \)
   \( S = \left( -\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + 16 \right) - \left( -\frac{-8}{6} + \frac{4}{2} - 8 \right) \)
   \( S = \left( -\frac{32}{3} + 8 + 16 \right) - \left( \frac{4}{3} + 2 - 8 \right) \)
   \( S = \left( -\frac{32}{3} + 24 \right) - \left( \frac{4}{3} - 6 \right) \)
   \( S = -\frac{32}{3} + 24 - \frac{4}{3} + 6 \)
   \( S = -\frac{36}{3} + 30 \)
   \( S = -12 + 30 = 18 \)

Ответ: 18.