Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x+2 и y=2x-x²/2+6

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, сначала найдём точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

\( x + 2 = 2x - \frac{x^2}{2} + 6 \)

1. Перенесём все члены в одну сторону:
2. \( \frac{x^2}{2} + x - 2x + 2 - 6 = 0 \)
3. \( \frac{x^2}{2} - x - 4 = 0 \)
4. Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:
5. \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
6. Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
7. \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \)
8. Найдём корни:
9. \( x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
10. \( x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
11. Точки пересечения по оси X: \( -2 \) и \( 4 \).
12. Теперь нужно определить, какая функция находится выше на интервале \( [-2, 4] \). Возьмём тестовую точку, например, \( x = 0 \).
13. Для \( y = x + 2 \): \( y = 0 + 2 = 2 \).
14. Для \( y = 2x - \frac{x^2}{2} + 6 \): \( y = 2(0) - \frac{0^2}{2} + 6 = 6 \).
15. Значит, \( y = 2x - \frac{x^2}{2} + 6 \) находится выше.
16. Площадь фигуры вычисляется как интеграл разности функций:
17. \( S = \int_{-2}^{4} \left( (2x - \frac{x^2}{2} + 6) - (x + 2) \right) dx \)
18. \( S = \int_{-2}^{4} \left( 2x - \frac{x^2}{2} + 6 - x - 2 \right) dx \)
19. \( S = \int_{-2}^{4} \left( -\frac{x^2}{2} + x + 4 \right) dx \)
20. Вычислим интеграл:
21. \( S = \left[ -\frac{x^3}{6} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{4} \)
22. Подставим верхний предел:
23. \( -\frac{4^3}{6} + \frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4 = -\frac{64}{6} + \frac{16}{2} + 16 = -\frac{32}{3} + 8 + 16 = -\frac{32}{3} + 24 \)
24. \( 24 - \frac{32}{3} = \frac{72 - 32}{3} = \frac{40}{3} \)
25. Подставим нижний предел:
26. \( -\frac{(-2)^3}{6} + \frac{(-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2) = -\frac{-8}{6} + \frac{4}{2} - 8 = \frac{8}{6} + 2 - 8 = \frac{4}{3} - 6 \)
27. \( \frac{4}{3} - 6 = \frac{4 - 18}{3} = -\frac{14}{3} \)
28. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
29. \( S = \frac{40}{3} - ( -\frac{14}{3} ) = \frac{40}{3} + \frac{14}{3} = \frac{54}{3} = 18 \)

Ответ: 18